Weighted and Logarithmic Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities on stratified groups and applications

Bolys Sabitbek

doi:10.70474/se1et136

Авторлар

Болыс Мәжитұлы Сәбитбек Математика және математикалық модельдеу институты Author https://orcid.org/0000-0002-4580-8084

DOI:

https://doi.org/10.70474/se1et136

Кілт сөздер:

Кафарелли-Кон-Ниренберг теңсіздігі, логарифмдік Каффарелли-Кон-Ниренберг теңсіздігі, стратификацияланған Ли тобы

Аңдатпа

Классикалық Каффарелли–Кона–Ниренберг теңсіздіктері алғаш рет 1980-жылдары Евклид кеңістігінде құрылып, Соболев және Харди теңсіздіктері арасындағы интерполяция үшін біртұтас негіз ұсынды. Бұл теңсіздіктерді стратификацияланған (немесе біртекті Карно) Ли топтарына жалпылау 2000-жылдардың басында субэллиптикалық талдау мен геометриялық өлшем теориясының ықпалымен басталды. Бұл кеңейту топтың құрылымы, масштабтау симметриясы және функционалдық теңсіздіктер арасындағы бай байланыстарды ашты.

Бұл мақалада біз стратификацияланған Ли тобында салмақталған және логарифмдік Каффарелли-Кон-Ниренберг типті теңсіздіктерді орнатамыз. Нәтижесінде, біз оны келесі теңдеудің оң күшті шешімдерінің салмақталған ультра контрактивтілік (ultra\-con\-tra\-cti\-vi\-ty) дәлелдеу үшін қолдана аламыз:

d^α · ∂u/∂t = ℒₚ((d^α · u)^m),

мұндағы ℒₚ f = ∇_H ( |∇_H f|^p−2 · ∇_H f — p-суб-Лапласиан, d суб-Лаплациан үшін іргелі шешімімен байланысты біртекті норма, және α ∈ ℝ, 1<p<Q.

##plugins.themes.default.displayStats.downloads##

##plugins.themes.default.displayStats.noStats##

Әдебиеттер тізімі

D'Ambrosio L. Hardy-type inequalities related to degenerate elliptic differential operators Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 5 2005 451-486

Bonfiglioli A. Lanconelli E. Uguzzoni F. Stratified Lie Groups and Potential Theory for their Sub-Laplacians Springer-Verlag Berlin-Heidelberg 2007

Bouchez V. Willem M. Extremal functions for the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities: a simple proof of symmetry J. Math. Anal. Appl. 352 1 2009 293-300

Caffarelli L. Kohn R. Nirenberg L. First order interpolation inequalities with weights Compositio Mathematica 53 25927 1984

Catrina F. Wang Z. On the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities: sharp constants, existence (and nonexistence), and symmetry of extremal functions Comm. Pure Appl. Math. 54 2 2001 229-258 DOI: https://doi.org/10.1002/1097-0312(200102)54:2<229::AID-CPA4>3.0.CO;2-I

Chou K. Chu C. On the best constant for a weighted Sobolev-Hardy inequality J. London Math. Soc. 48 1 1993 137-151

Del Pino M. Dolbeault J. Best constants for Gagliardo-Nirenberg inequalities and applications to nonlinear diffusions J. Math. Pures Appl. 81 9 2002 847-875 DOI: https://doi.org/10.1016/S0021-7824(02)01266-7

Dolbeault J. Esteban M.J. Laptev A. Loss M. One-dimensional Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequalities: remarks on duality and flows J. Lond. Math. Soc. 90 2 2014 525-550

Garofalo N. Lanconelli E. Frequency functions on the Heisenberg group, the uncertainty principle and unique continuation Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 40 2 1990 313-356 DOI: https://doi.org/10.5802/aif.1215

Goldstein J. Kombe I. Yener A. A unified approach to weighted Hardy type inequalities on Carnot groups Discrete and Continuous Dynamical Systems 37 4 2017 2009-2021

Han Y. Weighted Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequality on the Heisenberg group Indian J. Pure Appl. Math. 46 2 2015 147-161 DOI: https://doi.org/10.1007/s13226-015-0118-7

Han Y.Z. Niu P.C. Zhang T. On first order interpolation inequalities with weights on the Heisenberg group Acta Mathematica Sinica, English series 27 12 2011 2493-2506

Feng T. Niu P. Qiao J. Several Logarithmic Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities and Applications Journal of Mathematical Analysis and Applications 457 1 2018 822-840

Folland G.B. Sten E.M. Estimates for the $bar{partial}_b$-complex and analysis on the Heisenberg group Comm. Pure Appl. Math. 27 1974 429-522

Folland G.B. Subelliptic estimates and function spaces on nilpotent groups Ark. Mat. 13 1975 161-207 DOI: https://doi.org/10.1007/BF02386204

Fischer V. Ruzhansky M. Quantization on nilpotent Lie groups Birkh"auser 314 2016 book

Lin C. Wang Z. Symmetry of extremal functions for the Caffarrelli-Kohn-Nirenberg inequalities Proc. Amer. Math. Soc. 132 6 2004 1685-1691

Liu H. Zhao L. Nontrivial solutions for a class of critical elliptic equations of Caffarelli-Kohn-Nirenberg type J. Math. Anal. Appl. 404 2 2013 317-325

Merker J. Generalizations of logarithmic Sobolev inequalities Discrete and Continuous Dynamical Systems Series S 1 2 2008 329-338 DOI: https://doi.org/10.3934/dcdss.2008.1.329

Ozawa T. Ruzhansky M. Suragan D. Lp-Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities on homogeneous groups Quart. J. Math. 70 2019 305-318

Ruzhansky M. Sabitbek B. Suragan D. Weighted anisotropic Hardy and Rellich type inequalities for general vector fields NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 26 2 2019 26:13

Ruzhansky M. Suragan D. Hardy inequalities on homogeneous groups Progress in Math. 327 2019 588 book

Ruzhansky M. Suragan D. Anisotropic L2-weighted Hardy and $L^2$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities Commun. Contemp. Math. 19 2017 DOI: https://doi.org/10.1142/S0219199717500146

Ruzhansky M. Suragan D. Yessirkegenov N. Caffarelli-Kohn-Nirenberg and Sobolev type inequalities on stratified Lie groups Nonlinear Differential Equations and Applications 24 56 2017

Ruzhansky M. Suragan D. Yessirkegenov N. Extended Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities, and remainders, stability and superweights for Lp-weighted Hardy inequalities Trans. Amer. Math. Soc. Ser. B 5 2018 32-62

Ruzhansky M. Suragan D. On horizontal Hardy, Rellich, Caffarelli-Kohn-Nirenberg and p-sub-Laplacian inequalities on stratified groups J. Differential Equations 262 2017 1799-1821 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jde.2016.10.028

Sabitbek B. Suragan D. Horizontal Weighted Hardy–Rellich Type inequality on Stratified Lie groups Complex Anal. Oper. Theory 12 6 2018 1469-1480 DOI: https://doi.org/10.1007/s11785-017-0650-z

Zhang S. Han Y. Dou J. A class of Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities on the H-type group Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 132 2014 249-266