О рангах Сельмера эллиптических кривых с рациональной точкойпорядка 2
DOI:
https://doi.org/10.70474/sqw8ys05Ключевые слова:
Эллиптические кривые, Группы Сельмера, Когомология ГалуаАннотация
В данной работе исследуется асимптотическое поведение рангов групп Сельмера, ассоциированных с эллиптическими кривыми, обладающими рациональной 2-кручением, определённой над целыми числами. Группа Сельмера играет ключевую роль в изучении группы Морделля–Вейля и гипотезы Бёрча — Свиннертона-Дайера. Арифметика эллиптических кривых с точками кручения давно привлекает внимание, начиная с классических результатов Морделля и Сельмера и последующих усовершенствований Касселсом и другими исследователями. В частности, 2-группы Сельмера позволяют глубже понять распределение рангов и структуру рациональных точек. Опираясь на ранее разработанные методы, применимые к квадратичным твистам, и используя аппараты когомологии Галуа, мы показываем, что верхние оценки размеров таких групп не ограничены в определённых бесконечных семействах эллиптических кривых. Подход подчёркивает взаимосвязь локальных условий в простых числах и глобальных свойств кривой, раскрывая влияние кручения на структуру групп Сельмера.
Скачивания
Библиографические ссылки
Shiga A. Behaviors of the Tate–Shafarevich group of elliptic curves under quadratic field extensions. arXiv preprint arXiv:2411.12316, 2024.
Feng K. Non-congruent numbers, odd graphs and the Birch–Swinnerton‑Dyer conjecture. Acta Arith. 75(1):71–83 (1996). DOI: https://doi.org/10.4064/aa-75-1-71-83
Feng K., Xiong M. On Selmer groups and Tate–Shafarevich groups for elliptic curves (y^2 = x^3 - n^3). Mathematika 58(2):236–274 (2012). DOI: https://doi.org/10.1112/S0025579312000046
Goto T. A study on the Selmer groups of elliptic curves with a rational 2-torsion. Doctoral thesis, Kyushu University, 2002.
Heath‑Brown D.R. The size of Selmer groups for the congruent number problem. II. Invent. Math. 118(2):331–370 (1994). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01231536 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01231536
Klagsburn Z., Lemke‑Oliver R. The distribution of 2‑Selmer ranks of quadratic twists of elliptic curves with partial two‑torsion. Mathematika (2013).
Klagsburn Z., Lemke‑Oliver R. The distribution of the Tamagawa ratio in the family of elliptic curves with a two‑torsion point. Res. Math. Sci. 1:15 (2014). DOI: https://doi.org/10.1186/s40687-014-0015-4
Kane D., Klagsburn Z. On the Joint Distribution Of (Sel_φ(E/ℚ)) and (Sel_φ(E'/ℚ)) in Quadratic Twist Families. arXiv preprint arXiv:1702.02687, 2017.
Kling A., Savoie B. Computing Selmer group for elliptic curves (y^2 = x^3 + bx) over ℚ(i). arXiv preprint arXiv:2410.22714, 2024.
Park J., Poonen B., Voight J., Matchett Wood M. A heuristic for boundedness of ranks of elliptic curves. J. Eur. Math. Soc. 21(9):2859–2903 (2019). DOI: https://doi.org/10.4171/jems/893
Bhargava M., Ho W. Coregular spaces and genus one curves. Camb. J. Math. 4(1):1–119 (2016). DOI: https://doi.org/10.4310/CJM.2016.v4.n1.a1
Bhargava M., Shankar A. Binary quartic forms having bounded invariants, and the boundedness of the average rank of elliptic curves. Ann. Math. 181(1):191–242 (2015). DOI: https://doi.org/10.4007/annals.2015.181.1.3
Xiong M. On Selmer groups of quadratic twists of elliptic curves with a two‑torsion over ℚ. Mathematika (2013).
Дополнительные файлы
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Copyright (c) 2025 Kazakh Mathematical Journal
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial-NoDerivatives» («Атрибуция — Некоммерческое использование — Без производных произведений») 4.0 Всемирная.
Условия лицензии «CC Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0» можно найти здесь.
